Since, A is of dimensions 3×4, we can write,

$I_3AI_4=A $

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\0 &1 &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &-4 \\2 &1 &4 &- 5\\-1 &-5 &-5 &7 \end{bmatrix}$

$R_3+R_1 \ gives$

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\0 &1 &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &-4 \\2 &1 &4 &-5 \\0 &-3 &-2 &3 \end{bmatrix}$

$R_2-2R_1 \ gives$

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\-2 &1 &0 \\1 &0 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &-4 \\0 &-3 &-2 &3 \\0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

$C_2-2C_1, \ C_3-3C_1, \ C_4+4C_1 \ gives$

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\-2 &1 &0 \\3 &-1 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &-2 &-3 &4 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &-3 &-2 &3 \\0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

$C_4+C_2, \ C_3-\dfrac {2}{3}C_2 \ gives,$

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\-2 &1 &0 \\3 &-1 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &-2 &-\frac {5}{3} &2 \\0 &1 &-\frac {2}{3} &0 \\0 &0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &-3 &0 &0 \\0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

$\dfrac {R_2}{-3} \ gives $

$\begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ \frac {2}{3} &- \frac {1}{3} &0 \\3 &-1 &1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 &-2 &-\frac {5}{3} &2 \\0 &1 &-\frac {2}{3} &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 & 0\\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &0 &0 \end{bmatrix} \ \cdots (A) $

This PAQ is in normal form, where

$P=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\\frac {2}{3} &-\frac {1}{3} &0 \\3 &-1 &1 \end{bmatrix} \ and \ Q=\begin{bmatrix} 1 &-2 &-\frac {5}{3} &2 \\0 &1 &-\frac {2}{3} &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

And from the rights side of A,

Rank of A=2.