Find the non-singular matrices P and Q such that PAQ is in Normal Form. Also find rank of A. \[A=\ \left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 1 & 6 \\2 & 4 & 2 & 2 \\12 & 14 & 5 & 16\end{array}\right]\]

1.7kviews

written 3.9 years ago by

teamques10 ★ 69k

Since, A is of dimension 3×4, we can write,

$I_3AI_4=A$

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\0 &1 &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix} A\begin{bmatrix} 1 & 0&0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 &3 &1 &6 \\2 &4 &2 &2 \\12 &14 &5 &16 \end{bmatrix}$

$\dfrac {R_2}{2}, \ then \ R_1 \ interchange \ R_2 \ gives$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &0 &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &2 &1 &1 \\4 &3 &1 &6 \\1 2&14 &5 &16 \end{bmatrix}$

$R_3-12 \ R_1, R_2-4R_1$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &-2 &0 \\0 &-6 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &2 &1 &1 \\0 &-5 &-3 &2 \\0 &-10 &-7 &4 \end{bmatrix}$

$R_3-2R_2$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &-2 &0 \\0 &-2 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &2 &1 & 1\\0 &-5 &-3 &2 \\0 &0 &-1 &0 \end{bmatrix}$

$C_2-2C_1, \ C_3-C_1, \ C_4-C_1$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &-2 &0 \\0 &-2 &1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 &-2 &-1 &-1 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &-5 &-3 &2 \\0 &0 &-1 &0 \end{bmatrix}$

$\dfrac {C_2}{-5}$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &-2 &0 \\0 &-2 &1 \end{bmatrix}A \begin{bmatrix} 1 &\frac {2}{5} &-1 &-1 \\0 & - \frac {1}{5} &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &-3 &2 \\0 &0 &-1 &0 \end{bmatrix}$

$C_3+3C_2, \ -C_3, \ C_4-2C_2$

$\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &- 2 &0 \\0 &-2 &1 \end{bmatrix} A\begin{bmatrix} 1&\frac {2}{5} &- \frac {1}{5} &- \frac {9}{5} \\0 &-\frac {1}{5} &\frac {3}{5} &\frac {2}{5} \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &0 &0 \\0 &0 &1 &0 \end{bmatrix} \ \cdots (A)$

This PAQ is in normal form, where

$P=\begin{bmatrix} 0 &\frac {1}{2} &0 \\1 &-2 &0 \\0 &-2 &1 \end{bmatrix} \ and \ Q=\begin{bmatrix} 1 &\frac {2}{5} &- \frac {1}{5} &-\frac {9}{5} \\0 &-\frac {1}{5} &\frac {3}{5} &\frac {2}{5} \\0 &0 &1 &0 \\0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

and from the right side of (A), the rank of A is 3.

ADD COMMENT EDIT