$\begin{bmatrix} 2 &-1 &1 &1 \1 &0 &1 &2 \3 &3 &3 &1 \1 &4 &2 &0 \0 &-4 &-1 &2 \end{bmatrix}$ Reducing the given matrix to normal form by using and row transformation and column transformation. $R_3 - 3 R_2 \to R_3$ $\begin{bmatrix} 2 &-1 &1 &1 \1 &0 &1 &2 \0 &3 &0 &-5 \1 &4 &2 &0 \0 &-4 &-1 &2 \end{bmatrix}$ $R_4 - R_2 \to R_4$ $\begin{bmatrix} 2 &-1 &1 &1 \1 &0 &1 &2 \0 &3 &0 &-5 \0 &4 &1 &-2 \0 &-4 &-1 &2 \end{bmatrix}$ $R_1 \leftrightarrow R_2$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \2 &-1 &1 &1 \0 &3 &0 &-5 \0 &4 &1 &-2 \0 &-4 &-1 &2 \end{bmatrix}$ $R_2 - 2 R_1 \to R_2$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &3 &0 &-5 \0 &4 &1 &-2 \0 &-4 &-1 &2 \end{bmatrix}$ $R_5 + R_4 \to R_5$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &3 &0 &-5 \0 &4 &1 &-2 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $R_4 - \dfrac {4}{3}R_3 \to R_4$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &3 &0 &-5 \0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $R_3 3 R_2 \to R_3$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &0 &-3 &-14 \0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $3R_4 + R_3 \to R_4$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &0 &-3 &-14 \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $-\dfrac {1}{3}R_3 \to R_3$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &-1 &-3 \0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $R_2 + R_3 \to R_3$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &-1 &0 &\dfrac {5}{3} \0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $-R_2 \to R_2$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &2 \0 &1 &0 &-\dfrac {5}{3} \0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \ 0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $R_1 - R_3 \to R_1$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-\dfrac {8}{3} \ 0 &1 &0 &- \dfrac {5}{3} \ 0 &0 &1 &\dfrac {14}{3} \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $C_4 - \dfrac {14}{3}C_3 \to C_4$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-\dfrac {8}{3} \0 &1 &0 &-\dfrac{5}{3} \0 &0 &1 &0 \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $C_4 + \dfrac {5}{3} C_2 \to C_4$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-\dfrac {8}{3} \0 &1 &0 &0 \0 &0 &1 &0 \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ $C_4 + \dfrac {8}{3}C_1 \to C_4$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \0 &1 &0 &0 \0 &0 &1 &0 \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$ Hence, the reduced form is $\begin{bmatrix} \textbf{1} & 0 &0 &0 \0 &\textbf{1} &0 &0 \0 &0 &\textbf{1} &0 \0 &0 &0 &0 \0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

Looking at the reduced form, we can decipher that the Indentity matrix formed is I3. Hence,

The rank of the matrix is 3.