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Find inverse Laplace Transform of following \[\left(i\right)\ \log{\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)}\] \[\left(ii\right)\ \frac{s}{{\left(s+1\right)}^2\left(s^2+1\right)}\]
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$i)F\left(s\right)=\ \log{\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)} \\[2ex] \displaystyle Consider,\\[2ex] \begin{align*} \displaystyle \frac{d}{dx}\log{\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)}&=\frac{1}{1+\frac{a^2}{s^2}}\frac{d}{dx}\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)\\[3ex] \displaystyle &=\frac{s^2}{s^2+a^2\ }\left(0-\frac{{2a}^2}{s}\right) \\[2ex] \displaystyle &=\ -\frac{{2a}^2}{s\left(s^2+a^2\right)}\ \\[2ex] &=\ -\ \frac{2{(s}^2+a^2)-{2s}^2}{s\left(s^2+a^2\right)} \\[2ex] \displaystyle &=-\frac{2{(s}^2+a^2)}{s\left(s^2+a^2\right)}+\frac{{2s}^2}{s\left(s^2+a^2\right)}\\[2ex] &=\ 2(-\frac{1}{s}+\frac{s}{s^2+a^2})\ \\[2ex] \end{align*} $

$ii)\ Let\\[2ex] \displaystyle \frac{s}{{\left(s+1\right)}^2(s^2+1)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{{\left(s+1\right)}^2}+\frac{Cs+D}{s^2+1}\ ..(1)\\[2ex]\therefore{}\ s=A\left(s+1\right)\left(s^2+1\right)+B\left(s^2+1\right)+\ \left(Cs+D\right){\left(s+1\right)}^2 \\[2ex] Let \ s = -1,\\[2ex] \displaystyle -1=A\left(0\right)+B\left({\left(-1\right)}^2+1\right)+\left(Cs+D\right){\left(0\right)}^2 \\[2ex] \displaystyle -1=B\left(2\right) \\[2ex] \displaystyle \therefore{}B=\ -\frac{1}{2} \\[2ex] \displaystyle s=A\left(s^3+s+s^2+1\ \right)-\frac{s^2}{2}-\frac{1}{2}+Cs^3+2Cs^2+Cs+Ds^2+2Ds+D\ \\[4ex] \displaystyle Comparing\ both\ the\ sides, \\[2ex] \displaystyle A+C=0;\ A-\frac{1}{2}+2C+D=0;1=A+C+2D;A+D=\frac{1}{2} \\[5ex] \displaystyle Substituting,\ A+D=\frac{1}{2}in\ \ A-\frac{1}{2}+2C+D=0,\\[3ex] we\ get, \\[2ex] \displaystyle \\[2ex] \displaystyle -\frac{1}{2}+2C+\frac{1}{2}=0\ \\[2ex] \displaystyle \therefore{}C=0\ \\[2ex] From, A+C=0, we \ get A=0\\[2ex] From,\ A+D=\frac{1}{2},\ we \ get\ D=\frac{1}{2}\\[2ex] So, from (1),\\[2ex] $

$\begin{align*} \displaystyle \frac{s}{{\left(s+1\right)}^2(s^2+1)}&=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{{\left(s+1\right)}^2}+\frac{Cs+D}{s^2+1}\\[2ex] &=\frac{-1}{2{\left(s+1\right)}^2}+\frac{1}{2(s^2+1)} \\[2ex] \displaystyle \therefore{}L^{-1}\left[\frac{s}{{\left(s+1\right)}^2\left(s^2+1\right)}\right]&=\frac{1}{2}L^{-1}[\frac{-1}{{\left(s+1\right)}^2}+\frac{1}{s^2+9}]\ \\[2ex] \displaystyle &={\frac{-1}{2}e^{-t}L}^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right)+\frac{1}{2}L^{-1}\left(\frac{1}{s^2+3^2}\right) \\[2ex] \end{align*}\\ \displaystyle f(t)=-\frac{e^{-t}t}{2}+\frac{sint\ }{2} \\[2ex] $

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