Solution:

$ X(\mathrm{k})=\sum_{n=0}^{N-1} x(\mathrm{n}) \mathrm{e}^{-j 2 \pi k n / N} k=0,1, \ldots N-1 $

For $\mathrm{N}=8$

$ X(\mathrm{k})=\sum_{n=0}^7 x(\mathrm{n}) \mathrm{e}^{-j \pi k n / 4} k=0,1,2 \ldots . . N-1\\ $

For k=0

$ \begin{aligned} X(0) & =\sum_{n=0}^7 x(n) \\\\ \mathrm{X}(0) & =\mathrm{x}(0)+\mathrm{x}(1)+\mathrm{x}(2)+\mathrm{x}(3)+\mathrm{x}(4)+\mathrm{x}(5)+\mathrm{x}(6)+\mathrm{x}(7) \\\\ & =1+1+1+1+1+1+0+0 \\\\ & =6 …